我打IMO？真的假的？

题目

$(\text{1979 IMO})$ 若 $p,q$ 均为正整数，且 $\displaystyle \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}$，求证：$1979\mid p$.

解法

很明显，这是一道数论题。题目中有 $1979\mid p$，涉及到能否整除，那我们首先要关心的是：$1979$ 是不是质数？经过验证，$1979$ 确实是一个质数。

我们先把这个结论放在一边，研究一下右边倒数加减和的式子。这个式子的形式不算很好处理，因此我们先对其进行一个变形：

\[\begin{align} \frac{p}{q}&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}\\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}-2\times\frac{1}{2}-2\times\frac{1}{4}-\cdots-2\times\frac{1}{1318}\\ &=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{658}+\frac{1}{659})\\ &=\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+\cdots+\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} \end{align}\]

注意到 $660+1319=661+1318=\cdots=1979$

又由于

\[\frac{1}{i}+\frac{1}{1979-i} = \frac{1979}{i(1979-i)}\]

所以

\[\begin{align} \frac{p}{q}&=\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+\cdots+\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}\\ &=(\frac{1}{660}+\frac{1}{1319})+(\frac{1}{661}+\frac{1}{1318})+\cdots+(\frac{1}{989}+\frac{1}{990})\\ &=\frac{1979}{660\times 1319}+\frac{1979}{661\times 1318}+\cdots+\frac{1979}{989\times 990}\\ &=\frac{1979\times M}{660\times 661\times\cdots\times 1318\times 1319}\\ &=\frac{1979\times M}{N} \end{align}\]

其中 $\displaystyle M=\sum_{i=660}^{989}\frac{660\times 661\times\cdots\times 1318\times 1319}{i(1979-i)},N=660\times 661\times\cdots\times 1318\times 1319$

所以 $pN=1979qM$，故 $1979\mid pN$

又由于 $1979$ 是质数，所以 $660,661,\cdots,1318,1319$ 都与 $1979$ 互质，所以 $1979\nmid N$，所以 $1979\mid p$.

证毕.

其实，如果你的数感比较好的话，你可以看出来 $1979=1319\times \frac{1318}{2}$，然后去进行种种操作，但这是题外话了.